前言

最近想在博客上开一个数学相关的专题，但是发现 Astro 并不能直接解析含有 LaTeX 表达式的 Markdown 文件。而使用 remarkMath，rehypeKatex 解决了这个问题，特此记录。

实现

1. 安装依赖

为了能够在自己的网站上使用 remarkMath 和 rehypeKatex，我们需要使用 npm 安装它们：

npm install rehype-katex
npm install remark-math

在国内的下载速度有时可能会很慢，可以使用镜像源解决这个问题。

2. 添加配置

接下来需要修改 astro.config.mjs，让 Astro 加载以上两个库作为 Markdown 的解析器:

import { defineConfig } from 'astro/config';
import mdx from '@astrojs/mdx';
import sitemap from '@astrojs/sitemap';

import remarkMath from 'remark-math';    // 新增
import rehypeKatex from 'rehype-katex';  // 新增

export default defineConfig({
	site: 'https://example.com',
	integrations: [mdx(), sitemap()],

	markdown: {
		syntaxHighlight: 'shiki',
		shikiConfig: {
			theme: 'one-light',
		},
		remarkPlugins: [remarkMath],  // 新增
		rehypePlugins: [rehypeKatex]  // 新增
	}
});

3. 加载样式表

在需要使用 LaTeX 的页面加载样式表 https://fastly.jsdelivr.net/npm/katex@0.15.1/dist/katex.css

这一步是非必须的，但是不加载可能会导致一些显示问题。我在配置的时候没有加载 CSS，发现一个名为 katex-html 的元素没有被正确隐藏，因此我在页面的<style>块下隐藏掉了这个元素，在使用中没有发现异常：

.katex-html {
  display: none;
}

至此，所有的配置工作就完成了。下面我给出一些示例，来验证其表现效果。

示例一：洛必达法则的证明

引言

洛必达法则（L’Hôpital’s Rule）是求极限的一种方法，它适用于当两个函数的极限同时趋于 0 或无穷大时的情形。本文将给出洛必达法则的数学证明。

洛必达法则的表述

定理： 设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内可微，且 $g'(x) \neq 0$ 对所有 $x \in (a, b)$ 成立。若

\lim_{x \to c} f(x) = 0 \quad \text{且} \quad \lim_{x \to c} g(x) = 0

或者

\lim_{x \to c} f(x) = \pm \infty \quad \text{且} \quad \lim_{x \to c} g(x) = \pm \infty,

且

\lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L,

其中 $L$ 是有限常数或 $L = \pm \infty$ ，那么

\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = L.

证明

假设 $f(c) = g(c) = 0$ 且 $f'(x)$ 和 $g'(x)$ 存在并连续，证明过程基于柯西中值定理（Cauchy’s Mean Value Theorem）。

柯西中值定理： 设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，在开区间 $(a, b)$ 上可微，且 $g'(x) \neq 0$ 对于 $x \in (a, b)$ 成立，则存在 $\xi \in (a, b)$ 使得

\frac{f'( \xi )}{g'( \xi )} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}.

现在我们开始证明洛必达法则。为简单起见，假设 $x \to c^+$ 的情形， $c$ 可以是有限值或无穷大。考虑区间 $[x, c]$ ，在这个区间上应用柯西中值定理，对于 $x$ 足够接近 $c$ ，有

\frac{f(x) - f(c)}{g(x) - g(c)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)},

其中 $\xi \in (x, c)$ 。由于 $f(c) = 0$ 且 $g(c) = 0$ ，上式化简为

\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}.

接下来，我们取 $x \to c$ ，根据假设 $\lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L$ ，所以

\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = L.

因此，洛必达法则得证。

总结

本文通过应用柯西中值定理，证明了洛必达法则。当两个函数的极限同时趋于 0 或无穷大时，可以通过其导数的极限来求解函数商的极限。这是一个极其重要的工具，特别是在处理不定形式时。

示例二：各种公式

\left[ \begin{array}{cccc} a_{1,1} & a_{2,1} & \cdots &a_{n,1}\\ a_{1,2} & a_{2,2} & \cdots &a_{n,2}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{1,n} & a_{2,n} & \cdots &a_{n,n}\\ \end{array} \right] = A = K^TQ = \left[ \begin{array}{c} k_1^T\\ k_2^T\\ \vdots\\ k_n^T\\ \end{array} \right] \left[ q_1\,q_2\, \cdots \,q_n \right]

\mathbf{A} = \left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \\ \end{array} \right)

\mathbf{span}\{v\}^\bot

\alpha = \pm \parallel x \parallel_2

\newcommand{\partt}[6] { \frac {\partial^{#2}#1} {{\partial{#3}^{#4}}{\partial{#5}^{#6}}} } {\partt {u} {7} {x} {4} {t} {3}}\\ \\ {\partt {z} {9}{x} {5}{y}{4}}

\cos^{2}\theta + \sin^{2}\theta = 1

\cos2\theta=\sin^{2}\theta + \cos^{2}\theta = 1-2\sin^{2}\theta = 2\cos^{2}\theta -1

\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}

x^{2}\geq0\qquad \textrm{for all } x \in \mathbb{R}

alpha\,, \beta\,, \gamma\,,\Gamma\,,\xi\,,\Xi\,,\pi\,,\Pi\,,\mu\,,\phi\,,\Phi\,,\omega\,,\Omega

\sqrt{1+x^2} \qquad \sqrt{x^2+\sqrt{y}}

\widetilde{\alpha*\beta*\gamma*\delta} \qquad \underbrace{1*2*\cdots*N}

\overrightarrow{ABCD}

\arccos{\theta},\qquad \cos{2\theta},\qquad \log{y},\qquad \limsup{(x_i)}

\int_{-\infty}^{\infty}{\sin^x(x)} dx \ne 1

\frac{1}{1}+\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots \frac{1}{N}

\iiint \mu(x,y,z)\,dx dy dz

\prod_{i=0}^{N}x_{i}

前言

实现